表面積と体積

今回は表面積と体積について具体例を使って詳しく解説します！

また、実際に表面積や体積を求めてみます！

「空間の図形」については以下の記事で復習できます！

表面積とは？

表面積と言われてもどこを指しているのかいまいち分からないという子が多いです。ここで、しっかりと覚えましょう！

表面積とは底面積と側面積を合わせた面積です。

簡単に言うと、立体の外側のすベての面のことです。

立体を手に取ってさまざまな角度から眺めたとき自分の目で見ることができる部分すべてが表面積です。

具体的に、下の直方体を見てみましょう。

一番手前の面ABFE、それと対面にある面DCGH、底面と言える面ABCD、それと対面にある面EFGH、横の面の面ADHE、それと対面にある面BCGF

この6つの面をすべて合わせたものが表面積です！

角柱、角錐の表面積の求め方

表面積を求めるときは展開図をかいてイメージして考えてみると良いです！

例えば、正三角柱の展開図は下のようになります。

正三角形の面積を4cm²、長方形1つの面積を36cm²とすると
表面積＝底面積＋側面積
　　　＝正三角形×2＋長方形×3
　　　＝4×2＋36×3＝116(cm²)となります！

また、正四角錐の展開図は下のようになります。

真ん中の正方形の一辺が6cm、4つの三角形の高さも6cmとする。
表面積＝底面積＋側面積
　　　＝真ん中の正方形＋三角形の面積×４
　　　＝6×6＋(6×6÷2)×4
　　　＝108(cm²)　となります！

円柱、円錐の表面積の求め方

まず、円柱の展開図は下のようになります！

円の半径を4cm、長方形の縦方の辺の長さを8cmとする。
また、長方形の横の長さは円の円周に等しいので8πcmとなります。

表面積＝底面積＋側面積
　　　＝円の面積×2＋長方形の面積
　　　＝16π×2＋8π×8＝96π(cm²)となります！

円柱や円錐などの曲面をもつ立体は、面積や体積にπが含まれることに注意してください！

円錐の展開図は下のようになります。

円の半径を3cm、扇形の半径を9cmとする。

扇形の孤の長さは円周の長さに等しいので、扇形の孤の長さは6πcmです。

扇形は円の一部で、18πcmのうちの6πcmは
6π÷18π＝1/3なので

図の扇形の面積は半径9cmの円の1/3の大きさです！

以上より、
表面積＝底面積＋側面積
　　　＝円＋扇形
　　　＝3×3×π＋9×9×π×(1/3)
　　　＝36π(cm²)　となります！

円錐の表面積を求める問題は非常によく出題されます！絶対にできるようにしましょう！

角柱、円柱の体積の求め方

かっこよく文字を使って表すと、\(V=Sh\)となります！（\(V\)は体積、\(S\)は底面積、\(h\)は高さ）

角錐、円錐の体積の求め方

角錐と円錐は先が尖っている立体です。

同じ底面積、同じ高さの角柱と円柱よりも体積は小さくなります！

どれくらい小さくなるかというと角柱や円柱の3分の1になります！

かっこよく文字を使って表すと、\(V=\frac{1}{3}Sh\)となります！（\(V\)は体積、\(S\)は底面積、\(h\)は高さ）

球の表面積と体積

球の体積と表面積は絶対に公式を覚えましょう！

「表面(表面積)に心配(4π)あるある(r×r)」のような語呂合わせで覚えました！

かっこよく文字を使って表すと、\(S=4πr^2\)となります！（\(S\)は表面積、\(r\)は半径）

「身(3)の上に心(4)配(π)ある、参上(r³)」のような語呂合わせで覚えました！

かっこよく文字を使って表すと、\(V=\frac{4}{3}πr^3\)となります！（\(V\)は体積、\(r\)は半径）

まとめ

表面積や体積の求め方についてまとめました！

・表面積は底面積と側面積を合わせた部分
・展開図をかくと、表面積を求めやすい！
・扇形の孤の長さは円周に等しい
・角柱、円柱の体積は\(V=Sh\)
・角錐、円錐の体積は\(V=\frac{1}{3}Sh\)
・円の表面積は\(S=4πr^2\)
・円の体積は\(V=\frac{4}{3}πr^3\)