反比例と比例定数

今回は反比例とは何か
また、反比例の特徴について
分かりやすく解説します！

反比例は比例とセットで学習すると
理解がしやすいです。

比例の内容は以下の記事で
詳しく解説しています！

✅　比例と比例定数
→比例とは何かが分かる！

✅　比例のグラフ
→比例のグラフの形や特徴が分かる！

✅　比例の式の求め方
→座標やグラフから\(y=ax\)を求める！

反比例とは？

子供\(x\)人で36個のアメを等しく分け合う。
1人分のアメの個数を\(y\)個とするとき
\(x\)と\(y\)の関係はどのようになるでしょうか？

子供が2人のとき、36÷2＝18
1人あたり18個です。

子供が3人のとき、36÷3＝12
1人あたり12個です。

子供が12人のとき、36÷12＝3
1人あたり3個です。

1人あたりのアメの個数は
36÷(人数)で求められますね！

つまり、\(x\)と\(y\)の関係は
\(y=\frac{36}{x}\)となります。

\(x\)にさまざまな値を代入することで
1人あたりのアメの個数が求められます！

\(y=\frac{36}{x}\)のように

\(y=\frac{a}{x}\)で表されるとき、\(y\)は\(x\)に反比例すると言い、\(a\)を比例定数と言います。

比例の式\(y=ax\)でも\(a\)を比例定数と言いました。
比例も反比例も両方\(a\)は比例定数です。
【注意】反比例定数というものは存在しません！

反比例の特徴①

アメを分け合う問題では
\(x\)は人数を表していたので
負の数を考えませんでした。

\(y=\frac{36}{x}\)について
\(x\)を負の数まで広げて考えてみましょう。

\(y=\frac{36}{x}\)を表にすると
以下のようになります。↓

\(x\)	-3	-2	-1	0	1	2	3
\(y\)	-12	-18	-36	×	36	18	12

【注意】\(x=0\)のとき\(y\)は0ではなく×と書いてください。
比例定数を0で割ることはできません。

＜反比例の特徴①＞
\(x\)が2倍,3倍…となると
\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍…となる

上の表で\(x\)が1から2に2倍されると
\(y\)は36から18に\(\frac{1}{2}\)倍されています。

また、\(x\)が1から3に3倍されると
\(y\)は36から12に\(\frac{1}{3}\)倍されています。

これは定期テストでもよく出題される特徴です。
よく覚えておきましょう！

反比例の特徴②

＜反比例の式の特徴②＞
\(xy\)の値は比例定数に等しくなる

上の表で\(x\)と\(y\)を縦に見てください。
\(x=1\)のとき\(y=36\)で、
\(xy=36\)

また、\(x=-2\)のとき\(y=-18\)で、
\(xy=36\)

常に\(xy\)の値が比例定数の36になっていることが
分かりますね！

比例定数が負の場合

比例定数が負の場合の反比例を考えてみましょう。

\(y=\frac{-12}{x}\)としてこれの表をかくと
以下のようになります。↓

\(x\)	-3	-2	-1	0	1	2	3
\(y\)	4	6	12	×	-12	-6	-4

比例定数が負の場合も
同じような表になりましたね。

＜特徴①＞
\(x\)が2倍,3倍…となると
\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍…となる

も

＜特徴②＞
\(xy\)の値は比例定数に等しくなる

も成り立つことを自分で確認してみてください！

まとめ

反比例とは何か？また、反比例の特徴について
まとめを書きました。

【まとめ】

\(y=\frac{a}{x}\)で表されるとき、\(y\)は\(x\)に反比例すると言い、\(a\)を比例定数と言う。

＜特徴①＞\(x\)が2倍,3倍…となると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍,\(\frac{1}{3}\)倍…となる
＜特徴②＞\(xy\)の値は比例定数に等しい

※表を書くとき、\(x=0\)に対応する\(y\)の値は×

比例の特徴と混同しないように、
ここでしっかりと覚えましょう。