今回は反比例とは何か
また、反比例の特徴について
分かりやすく解説します!
反比例は比例とセットで学習すると
理解がしやすいです。
比例の内容は以下の記事で
詳しく解説しています!
✅ 比例と比例定数
→比例とは何かが分かる!
✅ 比例のグラフ
→比例のグラフの形や特徴が分かる!
✅ 比例の式の求め方
→座標やグラフから\(y=ax\)を求める!
反比例とは?
子供\(x\)人で36個のアメを等しく分け合う。
1人分のアメの個数を\(y\)個とするとき
\(x\)と\(y\)の関係はどのようになるでしょうか?
子供が2人のとき、36÷2=18
1人あたり18個です。
子供が3人のとき、36÷3=12
1人あたり12個です。
子供が12人のとき、36÷12=3
1人あたり3個です。
1人あたりのアメの個数は
36÷(人数)で求められますね!
つまり、\(x\)と\(y\)の関係は
\(y=\frac{36}{x}\)となります。
\(x\)にさまざまな値を代入することで
1人あたりのアメの個数が求められます!
\(y=\frac{36}{x}\)のように
\(y=\frac{a}{x}\)で表されるとき、\(y\)は\(x\)に反比例すると言い、\(a\)を比例定数と言います。
比例の式\(y=ax\)でも\(a\)を比例定数と言いました。
比例も反比例も両方\(a\)は比例定数です。
【注意】反比例定数というものは存在しません!
反比例の特徴①
アメを分け合う問題では
\(x\)は人数を表していたので
負の数を考えませんでした。
\(y=\frac{36}{x}\)について
\(x\)を負の数まで広げて考えてみましょう。
\(y=\frac{36}{x}\)を表にすると
以下のようになります。↓
\(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
\(y\) | -12 | -18 | -36 | × | 36 | 18 | 12 |
【注意】\(x=0\)のとき\(y\)は0ではなく×と書いてください。
比例定数を0で割ることはできません。
<反比例の特徴①>
\(x\)が2倍,3倍…となると
\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍…となる
上の表で\(x\)が1から2に2倍されると
\(y\)は36から18に\(\frac{1}{2}\)倍されています。
また、\(x\)が1から3に3倍されると
\(y\)は36から12に\(\frac{1}{3}\)倍されています。
これは定期テストでもよく出題される特徴です。
よく覚えておきましょう!
反比例の特徴②
<反比例の式の特徴②>
\(xy\)の値は比例定数に等しくなる
上の表で\(x\)と\(y\)を縦に見てください。
\(x=1\)のとき\(y=36\)で、
\(xy=36\)
また、\(x=-2\)のとき\(y=-18\)で、
\(xy=36\)
常に\(xy\)の値が比例定数の36になっていることが
分かりますね!
比例定数が負の場合
比例定数が負の場合の反比例を考えてみましょう。
\(y=\frac{-12}{x}\)としてこれの表をかくと
以下のようになります。↓
\(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
\(y\) | 4 | 6 | 12 | × | -12 | -6 | -4 |
比例定数が負の場合も
同じような表になりましたね。
<特徴①>
\(x\)が2倍,3倍…となると
\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍…となる
も
<特徴②>
\(xy\)の値は比例定数に等しくなる
も成り立つことを自分で確認してみてください!
まとめ
反比例とは何か?また、反比例の特徴について
まとめを書きました。
【まとめ】
\(y=\frac{a}{x}\)で表されるとき、\(y\)は\(x\)に反比例すると言い、\(a\)を比例定数と言う。
<特徴①>\(x\)が2倍,3倍…となると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍,\(\frac{1}{3}\)倍…となる
<特徴②>\(xy\)の値は比例定数に等しい
※表を書くとき、\(x=0\)に対応する\(y\)の値は×
比例の特徴と混同しないように、
ここでしっかりと覚えましょう。
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