こんにちは！ケントです！
今回は反比例とその特徴について分かりやすく解説します！
反比例は比例とセットで学習すると理解がしやすいです！
比例の内容は以下の記事で詳しく解説しています！
反比例とは？
子供\(x\)人で36個のアメを等しく分け合う。1人分のアメの個数を\(y\)個とするとき、\(x\)と\(y\)の関係はどのようになるでしょうか？
子供が2人のとき、36÷2＝18
1人あたり18個です。
子供が3人のとき、36÷3＝12
1人あたり12個です。
子供が12人のとき、36÷12＝3
1人あたり3個です。
1人あたりのアメの個数は36÷（人数）で求められますね！
つまり、\(x\)と\(y\)の関係は、\(y=\frac{36}{x}\)となります。
\(x\)にさまざまな値を代入することで、1人あたりのアメの個数が求められます！
\(y=\frac{36}{x}\)のように
\(y=\frac{a}{x}\)で表されるとき、\(y\)は\(x\)に反比例すると言い、\(a\)を比例定数と言います。
比例の式\(y=ax\)でも\(a\)を比例定数と言いました。比例も反比例も両方\(a\)は比例定数です。
【注意】反比例定数というものは存在しません！
反比例の特徴①
アメを分け合う問題では、\(x\)は人数を表していたので負の数を考えませんでした。
\(y=\frac{36}{x}\)について、\(x\)を負の数まで広げて考えてみます！
\(y=\frac{36}{x}\)を表にすると以下のようになります↓
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) | -12 | -18 | -36 | × | 36 | 18 | 12 |
【注意】\(x=0\)のとき\(y\)は0ではなく×と書いてください。比例定数を0で割ることはできません。
\(x\)が2倍,3倍…となると、\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍…となる
上の表で\(x\)が1から2に2倍されると、\(y\)は36から18に\(\frac{1}{2}\)倍されています。
また、\(x\)が1から3に3倍されると、\(y\)は36から12に\(\frac{1}{3}\)倍されています。
これは定期テストでよく出題される特徴です。よく覚えておきましょう！
反比例の特徴②
次は、反比例の2つ目の特徴です！
\(xy\)の値は比例定数に等しくなる
上の表で\(x\)と\(y\)を縦に見てください。
\(x=1\)のとき\(y=36\)で、\(xy=36\)
また、\(x=-2\)のとき\(y=-18\)で、\(xy=36\)
常に\(xy\)の値が比例定数の36になっていることが分かりますね！
比例定数が負の場合
比例定数が負の場合の反比例を考えてみましょう。
\(y=\frac{-12}{x}\)としてこれの表をかくと以下のようになります。↓
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) | 4 | 6 | 12 | × | -12 | -6 | -4 |
比例定数が負の場合も同じような表になりましたね。
\(x\)が2倍,3倍…となると、\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍…となる
も
\(xy\)の値は比例定数に等しくなる
も成り立つことを自分で確認してみてください！
まとめ
反比例とはなにか、反比例の特徴についてまとめました！
【まとめ】
\(y=\frac{a}{x}\)で表されるとき、\(y\)は\(x\)に反比例すると言い、\(a\)を比例定数と言う。
＜特徴①＞\(x\)が2倍,3倍…となると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍,\(\frac{1}{3}\)倍…となる
＜特徴②＞\(xy\)の値は比例定数に等しい
※表を書くとき、\(x=0\)に対応する\(y\)の値は×
比例の特徴と混同しないように、ここでしっかりと覚えましょう！
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