比例と比例定数

今回は小学校でも学んだ「比例」について
その特徴や考え方、テストでよく出るところを
解説していきます！

比例は関数の1つです。
関数ってなんだっけ？という子は
✅　関数とは？変数と変域
をチェックしてみてください！

比例とは何か？

下の図のような
東西に伸びる道を想像してください。

Aさんは秒速3mで西から東に向かって
走っています。

Aさんが地点Pを通過してからの時間を\(x\)、
Aさんがいる位置を\(y\)とします。

すると、Aさんの走っている様子は
下の表のように整理されます。

\(x\)(秒)	-3	-2	-1	0	1	2	3
\(y\)(m)	-9	-6	-3	0	3	6	9

ここで、正負の数を考えると
「-3秒」は「3秒前」
「-9m」は「地点Pから西に9m」
と読み替えることができますね。

正負の数について復習したい子は
✅　正負の数　をチェック！

つまり、Aさんは3秒前には
地点Pから西に9m進んだ地点にいた
ということです。

では、\(x\)と\(y\)の関係を式で表してみましょう！

\(x\)が1,2,3…と増えると
\(y\)は3,6,9…と増えるので
\(y=3x\)と表すことができますね！

数量を式で表すことが苦手な子は
✅　文字を使った数量の表し方　をチェック！

\(y=3x\)のように

\(y=ax\)の形で表されるとき、\(y\)は\(x\)に比例すると言います。また、\(a\)を比例定数と言います。

比例の特徴①

\(y=ax\)と表されるとき
\(y\)は\(x\)に比例すると言います。

比例について
その性質や特徴などを説明していきます！

　＜比例の特徴①＞
\(x\)が1倍、2倍…となると
\(y\)も1倍、2倍…となる。

これは定期テストでも頻出の内容です。
先ほどの表を見てみましょう。

\(x\)が1から2に2倍されると
\(y\)も3から6に2倍されています。

\(x\)が1から3に3倍されると
\(y\)も3から9に3倍されています。

\(x\)も\(y\)も同じように増加していく
ということです！

比例の特徴②

　＜比例の特徴②＞
\(\frac{y}{x}\)の値は一定で
比例定数に等しい。

先ほどの表を見てください。
\(\frac{y}{x}\)の値、すなわち
\(y\)を\(x\)で割った値は
常に3になっているはずです。

比例定数は
\(y÷x\)で求められるということです！

比例の特徴③

＜比例の特徴③＞
グラフは原点を通る直線になる

先ほどの秒速3mで走るAさんの式
\(y=3x\)をグラフにすると下の図のようになります。↓

原点Oを通る直線になっていますね！

グラフは直線だけとは限らないので、
「比例のグラフは直線」
という理解はとても大切なのです。

比例定数が負の場合

\(y=ax\)で表されるとき
\(y\)は\(x\)に比例すると言います。
また、\(a\)を比例定数と言います。

では、比例定数が負の場合は
どうなるのでしょうか？

試しに\(y=-2x\)の比例を考えてみましょう。

\(x\)	-3	-2	-1	0	1	2	3
\(y\)	6	4	2	0	-2	-4	-6

\(y=-2x\)の表はこのようになりました。

＜比例の特徴①＞について
\(x\)が1から2に2倍されると
\(y\)も-2から-4に2倍されています。

また、＜比例の特徴②＞について
\(\frac{y}{x}\)の値は常に-2で一定です。

さらに、＜比例の特徴③＞について
グラフは下のようになります。↓

原点を通る直線になっていますね！

比例定数が負の数の場合でも
3つの特徴はすべて当てはまります。

これからは比例定数が負の場合も
当然のように扱っていくので
ここでしっかりと特徴を覚えましょう！

まとめ

比例についてまとめました↓

\(y=ax\)で表されるとき\(y\)は\(x\)に比例すると言い、
\(a\)を比例定数と言う。

＜特徴①＞\(x\)が1倍,2倍…となると、\(y\)も1倍,2倍…となる
＜特徴②＞\(\frac{y}{x}\)の値は比例定数に等しい
＜特徴③＞グラフは原点を通る直線になる